Logika Matematika Part 1 : Kalimat Pernyataan

Pengertian logika matematika termasuk logika modern dan logika tradisional dengan pentingnya belajar logika secara panjang lebar disajikan dalam buku materi pokok (modul) mata kuliah Pengantar Dasar Matematika. Khusus dalam sajian sekarang kita akan mengawalinya dengan salah satu konsep dasar logika matematika yang 
disebut pernyataan atau proposisi (prepotitio).



1.        Kalimat Pernyataan

 Kalimat pernyataan atau disingkat dengan pernyataan tidak sama dengan kalimat biasa, sebab dalam kalimat biasa sering dipilih kata-kata yang pantas, yang mudah, kiasan atau ungkapan yang kabur, dan kadang-kadang dipakai kata-kata yang bermakna ganda. Sebaliknya dalam pernyataan tidaklah demikian, tetapi kalimatnya haruslah lengkap, tidak kabur dan jelas. Suatu ciri logis dalam pelajaran matematika, bahwa yang dimaksudkan dengan pernyataan yaitu suatu kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tidak dua-duanya pada saat yang sama, artinya tidak sekaligus benar dan salah. Sedangkan kalimat yang benar tidak, salahpun tidak adalah bukan pernyataan. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan tiga kelompok contoh berikut ini.

Contoh 1 (Pernyataan yang benar) :

a.    Jakarta adalah ibu kota negara Republik Indonesia

b.    Jika x = 4, maka 2x = 8

c.    Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

 Contoh 2 (Pernyataan yang salah) :

a.    Udara adalah benda padat

b.     x – y = y – x; x y 2

c.    Setiap bilangan prima adalah ganjil

Contoh 3 (Bukan pernyataan) :

a.    x + 7 = 0

b.    x2 + 2x – 15 = 0

c.     a + b > 9

2.        Pernyataan Tunggal dan Pernyataan Majemuk

Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana ialah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain sebagai bagiannya. Pernyataan majemuk itu bisa merupakan kalimat baru yang diperoleh dari penggabungan bermacam-macam pernyataan tunggal.

Contoh : Pernyataan “19 adalah bilangan prima” dapat dilambangkan dengan huruf “p” saja.

Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat kita gabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyaan majemuk. Sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk itu disebut kompnen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja berupa pernyataan majemuk. Namun yang perlu untuk kita adalah bagaimana mengusahakan cara menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.

Adapun operasi-perasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk yang kita kenal adalah :

1.      Negasi atau ingkaran atau sangkalan, dengan kata penyangkalan “tidaklah benar”. Contoh : Tidaklah benar bahwa 15 adalah bilangan prima

2.      Konjungsi, dengan kata perangkai “dan”. Contoh : Bunga mawar berwarna merah dan bungan melati berwarna putih

3.      Disjungsi dengan kata perangkai “atau”. Contoh : Cuaca cerah atau udara panas

4.      Implikasi atau kondisional, dengan kata perangkai “jika … maka …”. Contoh :  Jika x > 0 maka = x

5.      Biimplikasi atau bikondisional, dengan kata perangkai “ … jika dan hanya jika. Contoh : Suatu segitiga adalah sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama.

3.      Nilai Kebenaran Pernyataan

Seperti Anda ketahui, bahwa suatu pernyataan hanyalah bisa benar saja atau salah saja. Kebenaran atau kesalahan dari suatu pernyataan disebut nilai kebenaran dari pernyataan itu. Untuk pernyataan yang mempunyai nilai benar diberi tanda B (singkatan dari benar) sedangkan kepada pernyataan yang bernilai salah diberikan nilai kebenaran S (singkatan dari salah). Dalam modul ini ucapan nilai kebenaran dilambangkan dengan “” (huruf Yunani tau = 300). Nilai kebenaran dari suatu pernyataan p ditulis (p) , dan jika pernyataan p itu adalah benar maka (p) = B, sedangkan jika pernyataan p itu salah maka (p) = S.

Contoh

Jika p : “5 adalah bilangan genap”, maka (p) = S. b. Jika q : “5<9, maka (q) =B.</span>